Leggendo "Gli Immaginari In Geometria" di Pavel Florenskij

 Leggendo "Gli Immaginari In Geometria" di Pavel Florenskij

Pavel Florenskij nel suo famoso libro “Gli immaginari in geometria. Estensione del dominio delle immagini bidimensionali nella geometria” afferma - nella parte introduttiva -  che su un piano (x,y) se tre punti A(x_1,y₁), B(x_2,y₂), C(x_3,y₃) sono i vertici di un triangolo la sua area è ricavabile dal determinante

ChatGpt ci ricorda la dimostrazione https://chatgpt.com/share/66f1a9ec-c568-8000-928e-611fe554b447, visto che Florenskij non l’ha fornita nel libro (forse perché “ovvia” per lui!). Interrogando opportunamente questo sistema di IA, esso ce lo ricorda non solo per via analitica attraverso lo sviluppo del determinante della matrice su indicata, ma anche per via geometrica, come da obiettivo di Florenskij stesso attraverso questo suo magnifico libro.

Fig, 1

Forse può apparire più chiaramente dalla figura 2 seguente che se il vertice C  fosse mobile sul lato b del parallelogramma in cui il triangolo è inscritto quest'ultimo conserverebbe sempre la stessa area pari a

Fig, 2

E' altresì evidente che che tutti i triangoli inscritti in un parallelogramma che ne condividano un lato hanno in comune la stessa area e che tale area è pari a metà di quella del parallelogramma.

Possiamo allora dire che ciò è in connessione con il fatto che in una matrice il suo determinante cambia di segno, ma rimane lo stesso in valore assoluto, se si scambiano righe con righe, colonne con colonne. Sottolinando in tal modo l'esistenza di aspetti di simmetria implicita nella precedente formula dell'area, dove "cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia".

Per il prosieguo occorre ricordare che tre punti di coordinate (x₁,y₁), (x₂,y₂) e (x₃,y₃) si dicono collineari, vale a dire giacenti sulla stessa retta in un sistema di riferimento cartesiano a due assi, se e solo se, per il determinante che segue, vale che:

Il che significa che l’area compresa tra i vettori è nulla e solo così è possibile comprendere le collineazioni di cui poi parla Florenskij.

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